六分の一公式とは？証明・使える条件・符号の注意点と入試対策を徹底解説

六分の一公式は、放物線と直線で囲まれた面積を、交点の座標から素早く求めるための積分公式です。二次関数どうしで囲まれた図形にも応用でき、定積分の計算量を減らしたい高校生や大学受験生にとって、覚えておく価値の高い解法の一つです。

ただし、公式を暗記しただけでは、符号を間違えたり、適用できない図形に使ってしまったりすることがあります。2026年の受験対策でも押さえたいのは、公式の形だけでなく、成立条件、証明の仕組み、共通テストと記述式試験での使い分けです。この記事では、例題を通して、六分の一公式の正しい使い方を整理します。

📌 【この記事の重要ポイントまとめ】

• 公式の基本：交点のx座標をα、βとすると、面積は二次式の係数の絶対値に（β−α）の3乗を掛け、6で割って求められる。
• 使える条件：2つのグラフの差が二次式になり、異なる2つの交点の間に、ひと続きの囲まれた領域ができること。
• 試験での注意点：定積分の値と面積は区別し、記述式では交点・積分区間・二次式の形を示してから公式を使う。

【六分の一公式とは】放物線と直線の面積を一瞬で求める仕組み

六分の一公式は、二次関数と直線、または二次関数どうしで囲まれた面積を、定積分の計算を大幅に省略して求める方法です。「1/6公式」とも呼ばれます。

基本となるのは、次の定積分の等式です。

六分の一公式の基本形

∫[α,β] (x−α)(x−β) dx ＝ −(β−α)³／6

ここで、αとβは実数で、α＜βとします。公式の右辺にマイナスが付いているのは、積分区間の内部では（x−α）が正、（x−β）が負となり、その積が負になるためです。

この公式を放物線と直線の面積に応用すると、次の形になります。

放物線と直線で囲まれた面積

放物線を y＝ax²＋bx＋c、直線を y＝px＋q とし、2つのグラフの交点のx座標をα、βとします。α＜βで、交点間に囲まれた領域ができるとき、面積Sは次の式で求められます。

S＝|a|／6 ×（β−α）³

この式のaは、放物線の二次の係数です。直線の傾きや切片、放物線の一次の係数や定数項を個別に計算する必要はありません。交点間の幅と二次の係数が分かれば、面積を求められる点が最大の利点です。

なお、二次関数どうしの場合は、係数の扱いが変わります。y＝a₁x²＋b₁x＋c₁とy＝a₂x²＋b₂x＋c₂の交点をα、βとすると、差の二次の係数はa₁−a₂です。そのため、面積はS＝|a₁−a₂|（β−α）³／6となります。

理系ラボや「高校数学の美しい物語」でも、交点と二次の係数を利用した面積計算が紹介されています。六分の一公式は単なる暗記用の裏技ではなく、定積分を計算した結果を一般化したものです。

【使える条件】六分の一公式を適用できる問題とできない問題

六分の一公式を使う際は、問題文に「放物線」や「面積」という言葉があるだけで判断してはいけません。大切なのは、2つの関数の差が二次式になり、その二次式が交点を根として因数分解できることです。

進研ゼミ高校講座の解説でも、二次関数と直線、二次関数どうしの面積問題を基本パターンとして扱い、適用条件や符号の確認を重視しています。

判断の目安は、次の3点です。

• 2つのグラフの交点のx座標をα、βと置ける。
• 2つの関数を引いた式が二次式になる。
• 求める領域が、交点間の1つのまとまった部分である。

この条件がそろえば、公式を使える可能性が高くなります。一方、指定された積分区間の端が交点ではない場合や、複数の領域をまとめて求める場合には、六分の一公式をそのまま当てはめることはできません。必要に応じて区間を分け、通常の定積分で計算します。

【六分の一公式の証明】平行移動を使えば「6分の1」の理由が分かる

六分の一公式の証明は、交点の位置をいったん原点に移すように考えると、すっきり理解できます。高校数学の美しい物語でも、平行移動を利用して公式を導く方法が解説されています。

まず、α＜βとし、L＝β−αと置きます。積分する式は（x−α）（x−β）です。ここで、t＝x−αと置換すると、x＝αのときt＝0、x＝βのときt＝Lとなります。

また、x−α＝t、x−β＝t−Lなので、積分は次のように変形できます。

∫[α,β] (x−α)(x−β) dx

＝∫[0,L] t(t−L) dt

＝∫[0,L] (t²−Lt) dt

＝[t³／3−Lt²／2]₀ᴸ

＝L³／3−L³／2

＝−L³／6

L＝β−αを戻せば、∫[α,β]（x−α）（x−β）dx＝−（β−α）³／6となります。これで六分の一公式が証明できました。

この証明のポイントは、交点の位置を表すαそのものが、最後の計算結果に残らないことです。積分区間を平行移動しても、区間の幅が同じなら、この定積分の値は変わりません。結果を決めるのは、交点間の距離β−αなのです。

さらに、放物線と直線の差は、交点を根としてa（x−α）（x−β）と表せます。これを積分すれば、係数aを掛けた−a（β−α）³／6が得られます。面積は正の値なので、絶対値を取ればS＝|a|（β−α）³／6となります。

【例題で確認】二次関数と直線で囲まれた面積の求め方

公式の使い方を、実際の定積分の面積問題で確認しましょう。例題では、交点の計算と係数の確認を省略しないことが大切です。

例題1：y＝x²とy＝x＋2で囲まれた部分の面積を求めよ。

まず、交点を求めます。

x²＝x＋2

⇔ x²−x−2＝0

⇔（x＋1）（x−2）＝0

したがって、交点のx座標はα＝−1、β＝2です。

次に、交点間では直線y＝x＋2が放物線y＝x²より上にあります。よって、面積Sは「上の関数−下の関数」の積分で表せます。

S＝∫[−1,2]｛（x＋2）−x²｝dx

＝−∫[−1,2]（x＋1）（x−2）dx

六分の一公式を適用すると、

S＝（2−（−1））³／6

＝3³／6

＝9／2

通常の方法では、被積分関数を積分して上端と下端を代入します。六分の一公式を使えば、因数分解と交点の差から、原始関数を求める計算を省略できます。

例題2：y＝2x²−7x＋7とy＝x＋1で囲まれた部分の面積を求めよ。

交点では、2x²−7x＋7＝x＋1となるため、

2x²−8x＋6＝0

⇔ 2（x−1）（x−3）＝0

よって、α＝1、β＝3です。2つの関数の差の二次の係数は2なので、面積は次のように求められます。

S＝|2|（3−1）³／6

＝2×8／6

＝8／3

この例題では、二次の係数が1ではなく2であることがポイントです。交点の間隔だけで面積が決まるわけではありません。放物線の開き具合に相当する二次の係数も、正しく反映する必要があります。

【符号の注意点と覚え方】面積がマイナスになるミスを防ぐ

六分の一公式で特に多い失敗は、定積分の値と図形の面積を同じものとして扱うことです。定積分は、グラフが基準となる軸より下にあると負の値になる場合があります。しかし、図形の面積そのものが負になることはありません。

注意点1：基本形の公式にはマイナスが付く

∫[α,β]（x−α）（x−β）dx＝−（β−α）³／6です。α＜βのとき、積分区間の内部で（x−α）（x−β）は負になるためです。積分結果が負でも、面積を求める問題なら、関数の上下関係を確認して正の面積に直します。

注意点2：係数には絶対値を付ける

放物線と直線の面積公式は、S＝|a|（β−α）³／6です。二次の係数aが負の場合もあるため、絶対値を忘れると面積が負になってしまいます。二次関数どうしの場合も、差の二次の係数a₁−a₂に絶対値を付けます。

注意点3：交点の順序をそろえる

公式では、左側の交点をα、右側の交点をβとし、α＜βとします。交点の順序を逆にしてしまうと、公式の符号や計算の解釈が分かりにくくなります。最初に小さい方をα、大きい方をβと決めましょう。

六分の一公式の覚え方

おすすめの覚え方は、「交点の差の3乗、二次の係数の絶対値を掛けて、6で割る」です。

つまり、S＝|A|（β−α）³／6という形を覚えます。Aは、2つの関数の差の二次の係数です。放物線と直線なら放物線の二次の係数、二次関数どうしなら二次の係数の差を使います。

式を丸暗記するだけでなく、基本形の定積分が負になる理由まで理解しておけば、符号のミスを減らせます。

【共通テスト・記述式試験】六分の一公式を使う答案の書き方

六分の一公式は、条件を満たして正しく適用できるなら、定積分の計算を効率化する有効な方法です。共通テストのような選択式・マーク式の問題でも、公式を利用して正しい答えを導くことができます。ただし、問題文で指定された解法や解答形式がある場合は、それに従う必要があります。

一方、記述式試験では、公式を知っていることだけでなく、どのような積分を計算したのかを採点者に伝えることが大切です。答えだけを書いて終わるのではなく、交点と積分区間、公式に当てはまる式を示しましょう。

記述式答案の例

y＝−x²＋4xとx軸で囲まれた部分の面積Sを求めます。

まず、−x²＋4x＝0より、x＝0、4です。したがって、交点のx座標はα＝0、β＝4となります。

この区間では二次関数がx軸より上にあるので、

S＝∫[0,4]（−x²＋4x）dx

＝−∫[0,4]（x−0）（x−4）dx

六分の一公式より、

S＝−｛−（4−0）³／6｝

＝32／3

このように書けば、どの区間を積分したか、なぜマイナスを付けたか、どの公式を使ったかが明確になります。

進研ゼミ高校講座でも、試験での利用に加え、適用条件や符号、答案の書き方を整理しています。理系ラボや「高校数学の美しい物語」の解説も、公式の形を理解してから応用するための参考になります。

【プロの結論】公式を使う速さより、適用条件を見抜く力が重要

六分の一公式の本当の強みは、積分計算を短縮できることだけではありません。2つの関数の差に注目し、交点を根とする二次式へ整理することで、面積が何によって決まるのかを見抜ける点にあります。

使いこなすためには、次の順序を習慣にするのがおすすめです。

• 交点を求める：2つの関数を等しいと置き、αとβを計算する。
• 差を確認する：2つの関数の差が二次式になることを確認する。
• 係数を特定する：差の二次の係数Aを正しく取り出す。
• 面積を求める：|A|（β−α）³／6を計算する。
• 答えを確認する：面積が正であることと、求める領域に公式が適用できることを確かめる。

公式の利用が向いているのは、交点が明確で、二次式の形が整った標準的な面積問題です。一方、交点が複数ある問題や、区間内で上下関係が変わる問題では、通常の定積分で区間を分ける方が安全です。

また、啓林館の授業実践記録では、放物線と長方形の面積の関係を図形的に捉える考え方も紹介されています。公式を暗記するだけでなく、グラフの形と面積の関係を理解することが、応用問題への対応力につながります。

【六分の一公式】に関するよくある質問（FAQ）

Q1：六分の一公式は、どんな問題で使えますか？
A1：二次関数と直線、または二次関数どうしの差が二次式になり、異なる2つの交点の間に囲まれた領域ができる問題で使えます。交点のx座標をα、β、差の二次の係数をAとすると、面積は|A|（β−α）³／6です。

Q2：六分の一公式は共通テストで使ってもよいですか？
A2：公式を正しく適用して答えを求めることは可能です。ただし、適用条件を満たしていることを確認し、問題文で解法や解答形式が指定されている場合は、その指示に従いましょう。

Q3：六分の一公式でマイナスが付くのはなぜですか？
A3：基本形の被積分関数（x−α）（x−β）は、α＜x＜βで負になるためです。定積分の値は負になりますが、面積を求める際には、関数の上下関係を確認し、必要に応じて符号を反転するか絶対値を取ります。

まとめ：六分の一公式を正しく使い、定積分の面積問題を攻略する

六分の一公式は、放物線と直線で囲まれた面積や、二次関数どうしで囲まれた面積を素早く求められる便利な公式です。交点間の幅の3乗と二次の係数を利用するため、通常の積分計算を大幅に省略できます。

一方で、公式を使う前には、交点が2つあるか、差が二次式になるか、係数と符号を正しく扱っているかを確認する必要があります。共通テストでは計算の効率化に役立ち、記述式では交点・積分区間・公式の適用過程を示すことで、解答の根拠が明確になります。

まずは基本形の証明を理解し、例題で通常の定積分による計算結果と照らし合わせてみてください。公式の成立理由まで身につければ、単なる暗記に頼らず、さまざまな面積問題に対応できるようになります。 （出典: 六 分 の 一 公式（Yahoo!ニュース））